关于上半空间中与边界 Yamabe 问题相关的非线性 Laplace 方程

本文我们考虑带 Neumann 边界条件的非线性椭圆方程 \begin{align*} \begin{cases} \Delta u=a|u|^{m-1}u\,\,\mbox{ in }\,\,\rnp\\ \dfrac{\partial u}{\partial t}=b|u|^{\eta-1}u+f\,\,\mbox{ on }\,\,\partial\rnp. \end{cases} \end{align*} 对于 $a,b\neq 0$，$m>\frac{n+1}{n-1}$，$(n>1)$，$\eta=\frac{m+1}{2}$ 以及小数据 $f\in L^{\frac{nq}{n+1},\infty}(\partial\rnp)$，$q=\frac{(n+1)(m-1)}{m+1}$，我们证明该问题可解。更确切地说，我们在函数空间 $\X^{q}_{\infty}$ 中建立了关于边界数据 $f$ 的解的存在性、唯一性以及对边界数据的连续依赖，其中 $$\|u\|_{\X^{q}_{\infty}}=\sup_{t>0}t^{\frac{n+1}{q}-1}\|u(\cdot,t)\|_{L^{\infty}(\partial\rnp)}+\|u\|_{L^{\frac{q(m+1)}{2},\infty}(\rnp)}+\|\nabla u\|_{L^{q,\infty}(\rnp)}.$$ 作为直接推论，我们得到了这些解的局部正则性性质 $C^{1,\nu}_{loc}$，$\nu\in (0,1)$ 以及对某些 $m$ 值的能量估计。衰减快于 $|x|^{-(m+1)/(m-1)}$，$x\in \rn\setminus\{0\}$ 的边界值可解，并且该衰减性质对正非线性项被证明是最优的。此外，我们能够证明解继承了边界数据的定性特征，如正性、关于 $(n+1)$-轴的旋转对称性、切向变量中的径向单调性以及齐次性。当 $a,b>0$ 时，正解存在的临界指数 $m_c$ 被确定，$m_c=(n+1)/(n-1)$。