一致可求长性蕴含 Varopoulos 扩张

我们为任意余维数为一的一致可求长集 $E$ 上的函数 $f \in \text{BMO}(E)$ 构造 Varopoulos 型扩张。更确切地说，令 $\Omega \subset \mathbb{R}^{n+1}$ 为满足开瓶塞条件且具有 $n$ 维一致可求长边界 $\partial \Omega$ 的开集，并令 $\sigma := \mathcal{H}^n\lfloor_{\partial \Omega}$ 表示 $\partial \Omega$ 上的曲面测度。我们证明：若 $f \in \text{BMO}(\partial \Omega,d\sigma)$ 且在 $\partial \Omega$ 上紧支撑，则存在 $\Omega$ 中的光滑函数 $V$，使得 $|\nabla V(Y)| \, dY$ 是一个 Carleson 测度，其 Carleson 范数由 $f$ 的 BMO 范数控制，且 $V$ 在某种非切向意义下几乎处处关于 $\sigma$ 收敛于 $f$。我们的结果应与近期由 Azzam、第一作者、Martell、Mourgoglou 和 Tolsa 以及由第一作者和 Le 分别给出的 Dirichlet 问题的 $L^p$-可解性与 BMO-可解性的几何刻画相比较。结合来看，后一对结果表明：仅当存在适当的定量连通性条件时，才能为所有 $f \in C_c(\partial \Omega)$ 构造调和扩张 $u$，使得 $|\nabla u(Y)|^2 \text{dist}(Y,\partial \Omega) \, dY$ 是由 $f$ 的 BMO 范数控制的 Carleson 测度。