取值于一致凸空间的 BMO 函数与 Carleson 测度

本文研究了取值向量值的 BMO 函数与其梯度所定义的 Carleson 测度之间的关系。令 $dA$ 和 $dm$ 分别表示单位圆盘 $D$ 和单位圆周 $\mathbb T$ 上的 Lebesgue 测度。对于 $1< q<\infty$ 和 Banach 空间 $B$，我们证明存在一个正常数 $c$，使得对所有系数在 $B$ 中的三角多项式 $f$，不等式 $$\sup_{z_0\in D}\int_{D}(1-|z|)^{q-1}\|\nabla f(z)\|^q P_{z_0}(z) dA(z) \le c^q\sup_{z_0\in D}\int_{\T}\|f(z)-f(z_0)\|^qP_{z_0}(z) dm(z)$$ 成立，当且仅当 $B$ 容许一个等价的 $q$-一致凸范数，其中 $$P_{z_0}(z)=\frac{1-|z_0|^2}{|1-\bar{z_0}z|^2} .$$ 反向不等式的有效性等价于存在一个等价的 $q$-一致光滑范数。