非紧性度量的表示及其在 Banach 空间中初值问题中的应用

本文致力于研究定义在 Banach 空间上的非广义紧性度量（特别是非紧性度量、非弱紧性度量以及非超弱紧性度量等）的表示及其应用。借助一个三次保序嵌入定理，我们证明了对任意 Banach 空间 $X$，存在某个紧 Hausdorff 空间 $K$ 上的 Banach 函数空间 $C(K)$，以及从赋予 Hausdorff 度量的 $X$ 的所有非空有界子集组成的超空间 $\mathscr B$ 到 $C(K)$ 的正锥 $C(K)^+$ 的保序仿射映射 $\mathbb T$，使得对 $X$ 上的每个凸度量（特别是正则度量、齐次度量、次线性非广义紧性度量 $\mu$），存在锥 $V=\mathbb T(\mathscr B)$ 上的凸函数 $\digamma$，其在 $V$ 的每个有界集上 Lipschitz，满足 $$\digamma(\mathbb T(B))=\mu(B),\;\;\forall\;B\in\mathscr B.$$ 作为应用，我们给出 Banach 空间中初值问题相关的一类基本积分不等式，并证明了该初值问题的一个可解性结果，这是对 Goebel、Rzymowski 和 Banaś 某些经典结果的推广。