关于定义在凸函数锥上的保序与反序映射

在本文中，我们首先证明，对于 Banach 空间 $X$，存在一个从 ${\rm conv}(X)$（定义在 $X$ 上的所有广义实值下半连续正常凸函数构成的锥）到其自身的完全反序映射 $T$，当且仅当 $X$ 是自反的且与其对偶空间 $X^*$ 线性同构。然后我们进一步证明以下广义的“Artstein-Avidan-Milman”表示定理：对于每个完全反序映射 $T:{\rm conv}(X)\rightarrow {\rm conv}(X)$，存在线性同构 $U:X\rightarrow X^*$，$x_0^*, \;\varphi_0\in X^*$，$\alpha>0$ 以及 $r_0\in\mathbb R$，使得 \begin{equation}\nonumber (Tf)(x)=\alpha(\mathcal Ff)(Ux+x^*_0)+\langle\varphi_0,x\rangle+r_0,\;\;\forall x\in X, \end{equation} 其中 $\mathcal F: {\rm conv}(X)\rightarrow {\rm conv}(X^*)$ 是 Fenchel 变换。因此，这解决了两个开放问题。我们还给出了定义在特定凸函数锥上的完全保序映射的若干表示定理。例如，对于每个完全保序映射 $S:{\rm semn}(X)\rightarrow {\rm semn}(X)$，存在一个线性同构 $U:X\rightarrow X$ 使得 \begin{equation}\nonumber (Sf)(x)=f(Ux),\;\;\forall f\in{\rm semn}(X),\;x\in X, \end{equation} 其中 ${\rm semn}(X)$ 是 $X$ 上所有下半连续半范数构成的锥。