Banach空间上凸函数的可微凸函数全局逼近

我们证明，若$X$是一个Banach空间，其对偶$X^{*}$具有一个等价的局部一致凸（LUR）范数，则对于每个开凸集$U\subseteq X$，对于每个$\varepsilon >0$，以及对于每个连续凸函数$f:U \rightarrow \mathbb{R}$（不必在有界集上有界），存在一个$C^1(U)$类的凸函数$g:X \rightarrow \mathbb{R}$，使得在$U$上有$f-\varepsilon\leq g\leq f$。我们还展示了如何将连续（不必在有界集上有界）凸函数的$C^k$光滑凸函数全局逼近问题归结为Lipschitz凸函数的$C^k$光滑凸函数全局逼近问题。