关于 Banach 空间中凸体的 Klee 问题

众所周知，每个有限维 normed 空间中的凸体都可以被均匀地近似为严格凸且光滑的凸体。然而，在无限维情况下，自 1959 年 Klee 提出问题以来，几乎没有任何进展。本文证明，对于一个无限维 Banach 空间 $X$，(1) 每个凸体都可以被均匀地近似为严格凸凸体，当且仅当 $X$ 容许等价的严格凸范数；(2) 每个凸体都可以被均匀地近似为 Gâteaux 光滑凸体，当且仅当 $X$ 的对偶空间 $X^*$ 容许等价的严格凸对偶范数；特别地，(3) 若 $X$ 为可分空间或 reflexive 空间，则 $X$ 中的每个凸体都可以被均匀地近似为严格凸且光滑的凸体。这些结果通过证明在由黎巴洛瓦度量度量的全部凸体集合、所有连续 coercive 米氏范数以及在由 $X$ 单位球 $B_X$ 上各有界连续函数的 supremum 范数诱导的度量下，所有二次齐次连续凸函数上定义的 Fenchel 变换所构成的集合之间存在若干对应关系，这些对应关系实际上是局部 Lipschitz 同构。