凸体间极值 Grünbaum 距离的稳定性结果

1963 年，Grünbaum 针对任意凸体 $K, L \subset \mathbb{R}^n$ 引入了以下 Banach-Mazur 距离的变体：$d_G(K, L) = \inf \{ |r| \ : \ K' \subset L' \subset rK' \}$，其中下确界取遍 $K$ 和 $L$ 的所有非退化仿射像 $K'$ 和 $L'$。2004 年，Gordon、Litvak、Meyer 和 Pajor 证明了最大可能距离等于 $n$，从而证实了 Grünbaum 的猜想。2011 年，Jiménez 和 Naszódi 提出等式 $d_G(K, L)=n$ 是否意味着 $K$ 或 $L$ 是单纯形，并在一个凸体是光滑或严格凸的附加假设下证明了该结论。本文旨在为 Jiménez 和 Naszódi 定理的光滑情形给出一个稳定性结果。我们证明，对于每个光滑凸体 $L$，存在 $\varepsilon_0(L)>0$，使得如果对于某个 $0 \leq \varepsilon \leq \varepsilon_0(L)$ 有 $d_G(K, L) \geq (1-\varepsilon)n$，则 $d(K, S_n) \leq 1 + 40n^3r(\varepsilon)$，其中 $S_n$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的单纯形，$r(\varepsilon)$ 是依赖于 $L$ 的极体凸性模的关于 $\varepsilon$ 的具体函数，$d$ 是通常的 Banach-Mazur 距离。作为推论，我们得出任意凸体 $K, L \subset \mathbb{R}^n$ 的 Banach-Mazur 距离小于 $n^2 - 2^{-22}n^{-7}$。