非对称凸体之间的距离：至多多元对数的最优界

我们证明，非对称巴拿赫-mazur距离在两个凸体 $K_1, K_2 \subseteq \mathbb{R}^n$ 之间满足 $$d_{BM}(K_1, K_2) \leq C n \cdot \log^{\alpha} (n+1),$$其中 $C, \alpha > 0$ 为普适常数。这改进了 Rudelson 之前的界限 $C n^{4/3} \log^{\alpha} (n+1)$。在多元对数因子上，我们的估计是最优的，且它也匹配了在中心对称情形下的 optimal 界限——即在 John 位置下由 Gluskin 证明。上述巴拿赫-mazur距离的界限当两个体都处于“随机各向同性位置”时达到，即在随机旋转后处于各向同性位置。我们的证明基于各向同性位置下的 $M$ 界限，这补充了 E. Milman 的 $M^*$-界限。此外，我们考虑两个凸体 $K_1, K_2 \subseteq \mathbb{R}^n$ 之间的部分包含距离 $d_{PC}(K_1, K_2)$，其中巴拿赫-mazur要求包含另一体的 100% 被放宽为 99% 包含。我们证明对于任意两个凸体 $K_1, K_2 \subseteq \mathbb{R}^n$，都有 $$d_{PC}(K_1, K_2) \leq C \log^{\alpha} (n+1),$$且任意各向同性位置的 $K_1$ 和 $K_2$ 都可实现此多元对数界限。