凸体低维截面测度的估计

我们给出了Koldobsky关于对称凸体截面测度某些结果的另一种方法，其允许我们将这些结果推广到不一定对称的情形。我们证明若$K$是${\mathbb R}^n$中的凸体且$0\in {\rm int}(K)$，若$\mu$是${\mathbb R}^n$上具局部可积非负密度$g$的测度，则\begin{equation*}\mu (K)\leq \left (c\sqrt{n-k}\right )^k\max_{F\in G_{n,n-k}}\mu (K\cap F)\cdot |K|^{\frac{k}{n}}\end{equation*}对每一个$1\leq k\leq n-1$成立。同时，若$\mu$是偶且对数凹的，且若$K$是${\mathbb R}^n$中对称凸体且$D$是${\mathbb R}^n$紧子集使得对所有$F\in G_{n,n-k}$有$\mu (K\cap F)\leq \mu (D\cap F)$，则\begin{equation*}\mu (K)\leq \left (ckL_{n-k}\right )^{k}\mu (D),\end{equation*}其中$L_s$是${\mathbb R}^s$中凸体的极大各向同性常数。我们的方法采用广义Blaschke-Petkantschin公式与对偶仿射曲率积分的估计。