由对数凹随机向量的加权和定义的多重积分范数

设 $C$ 和 $K$ 为 ${\mathbb R}^n$ 中的中心对称凸体。我们证明若 $C$ 是各向同性的，则对任意 $s\geq 1$ 与 ${\bf t}=(t_1,\ldots ,t_s)\in {\mathbb R}^s$，有 \begin{equation*}\|{\bf t}\|_{C^s,K}=\int_{C}\cdots\int_{C}\Big\|\sum_{j=1}^st_jx_j\Big\|_K\,dx_1\cdots dx_s \leq c_1L_C(\log n)^5\,\sqrt{n}M(K)\|{\bf t}\|_2\end{equation*} 其中 $L_C$ 为 $C$ 的各向同性常数，且 $M(K):=\int_{S^{n-1}}\|\xi\|_Kd\sigma (\xi)$。这将 V.~Milman 的一个问题归约为从上估计各向同性凸体参数 $M(K)$ 的问题。证明基于一个结合 Eldan、Lehec 与 Klartag 关于切片问题的结果所作的观测：若 $\mu$ 是 ${\mathbb R}^n$ 上的各向同性对数凹概率测度，则对 ${\mathbb R}^n$ 中任意中心对称凸体 $K$，有 $$I_1(\mu ,K):=\int_{{\mathbb R}^n}\|x\|_K\,d\mu(x)\leq c_2\sqrt{n}(\log n)^5\,M(K).$$ 我们以进一步的应用来说明该不等式的用途。