各向同性凸体随机截面的几何

设 $K$ 为 ${\mathbb R}^n$ 中的各向同性对称凸体。我们证明余维 $k=\gamma n$ 的子空间 $F\in G_{n,n-k}$（其中 $\gamma\in (1/\sqrt{n},1)$）满足 $$K\cap F\subseteq \frac{c}{\gamma }\sqrt{n}L_K (B_2^n\cap F)$$ 的概率大于 $1-\exp (-\sqrt{n})$。使用不同方法，我们研究了各向同性对数凹概率测度 $\mu$ 在 ${\mathbb R}^n$ 上的 $L_q$-质心体 $Z_q(\mu )$ 的相同问题。对于每个 $1\leq q\leq n$ 和 $\gamma\in (0,1)$，我们证明随机子空间 $F\in G_{n,(1-\gamma )n}$ 满足 $Z_q(\mu )\cap F\subseteq c_2(\gamma )\sqrt{q}\,B_2^n\cap F$。我们还给出了 $Z_q(\mu )$ 随机投影的直径界，并利用它们推得：如果 $K$ 是 ${\mathbb R}^n$ 中的各向同性凸体，则对于维数为 $(\log n)^4$ 的随机子空间 $F$，其 $F$ 中的所有方向都是次高斯的，常数为 $O(\log^2n)$。