关于对数凹旋转不变测度的多面体最大表面积

文献\cite{GL}表明，在$\mathbb{R}^n$中，关于旋转不变对数凹概率测度$\gamma$的凸集的最大表面积量级为$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt[4]{Var|X|} \sqrt{\mathbb{E}|X|}}$，其中$X$是服从$\gamma$分布的$\mathbb{R}^n$中的随机向量。在本文中，我们讨论了具有$K$个面的凸多面体$P_K$的表面积。我们找到了用$K$表示的$P_K$最大表面积的紧界。我们证明对于所有$K$，有$\gamma(\partial P_K)\lesssim \frac{\sqrt{n}}{\mathbb{E}|X|}\cdot\sqrt{\log K}\cdot\log n$。该界限优于所有$K\in [2,e^{\frac{c}{{\sqrt{Var|X|}}}}]$的一般界限。此外，对于该范围内的所有$K$，该界限在$\log n$因子内是精确的：对于每个$K\in [2,e^{\frac{c}{{\sqrt{Var|X|}}}}]$，存在一个至多有$K$个面的多面体$P_K$，使得$\gamma(\partial P_K)\gtrsim \frac{\sqrt{n}}{\mathbb{E}|X|}\sqrt{\log K}$。