基于极小宽度与直径的凸体多面体逼近

记${\mathcal K}^d$为$E^d$中凸体族，$w(C)$为$C \in {\mathcal K}^d$的极小宽度。我们寻求最大的数$\Lambda_n ({\mathcal K}^d)$，使得每个$C \in {\mathcal K}^d$包含一个至多$n$个顶点的多面体$P$，满足$\Lambda_n ({\mathcal K}^d) \leq \frac{w(P)}{w(C)}$。基于覆盖$E^d$单位球面的$\big\lfloor {\frac{n}{2}} \big\rfloor$对径球冠对的最小半径的估计，我们给出$n \geq 2d$时$\Lambda_n ({\mathcal K}^d)$的下界估计。我们证明$\Lambda_3 ({\mathcal K}^2) \geq {\frac 1 2}(3- \sqrt 3)$，且对每个$n \geq 4$有$\Lambda_n ({\mathcal K}^2) \geq \cos {\frac \pi {2 \lfloor {n/2} \rfloor}}$。我们还考虑对偶问题：估计最小的数$\Delta_n ({\mathcal K}^d)$，使得每个$C \in {\mathcal K}^d$存在包含$C$的至多$n$个面的多面体$P$，满足$\frac{{\rm diam}(P)}{{\rm diam}(C)} \leq \Delta_n ({\mathcal K}^d)$。我们给出$n \geq 2d$时$\Delta_n ({\mathcal K}^d)$的上界。特别地，对$n \geq 4$有$\Delta_n ({\mathcal K}^2) \leq 1/ \cos {\frac \pi {2 \lfloor {n/2} \rfloor}}$。