一种多边形适用于所有情形：通过同时内切体积逼近刻画欧几里得球

我们研究平滑严格凸体 $K$ 在 $\mathbb{R}^d$ 中的内切多边形在内切体积差异下的渐近最佳逼近问题。我们在确定性和概率两种情境下证明了刚性现象。在确定性内切逼近模型中，我们证明，如果一个多边形序列同时在体积和均宽差异上均为最优，则 $K$ 必须是欧几里得球。特别地，欧几里得球是唯一一个 $C_+^2$ 凸体，其多边形序列可在最优渐近速率下同时逼近所有内切体积。在概率模型中，我们证明了更强的结论：如果单个抽样密度在 $\partial K$ 上产生的随机内切多边形对任意两个不同的内切体积差异均为最优（以期望值为准），则 $K$ 必须是欧几里得球。此外，借助极性，我们在体积和均宽情形下，为限制多边形分面数的外切多边形建立了对偶版本的刚性定理，同样适用于确定性和概率框架。证明方法利用渐近量化理论工具，以及基于曲率的最优顶点分布。这些结果解决了 Besau、Hoehner 和 Kur ({\it IMRN}, 2021) 提出的开放问题。