从圆到凸体：用多面体逼近曲线形状

多面体是凸集的基本有限数据结构：它们出现在线性优化的可行区域、算法的几何概括以及随机几何中的随机对象。因此，一个自然的几何问题是：在$\mathbb{R}^d$中，用仅有$N$个面的多面体如何良好逼近光滑凸曲线体？一个惊人现象是：在$\mathbb{R}^d$中，许多看似不同的逼近误差——如体积、表面积等——常以$N^{-2/(d-1)}$的速率衰减，当该体在光滑、正曲率边界上。本文为该“普适指数”提供了导览之旅，从经典的圆用N边形逼近开始，通过球盖和曲率建立直觉。我们随后概述了若干代表性定理——包括表明随机多面体几乎可与最佳可能多面体相当的结果——并解释欧几里得球为“最难情况”下的自然基准。我们还指出了一种新近提出的投影基距离度量，通过比较其阴影的平均距离来比较体。最后，我们列出若干可及的开放问题：关于尖锐常数的维度依赖性以及已知上界与下界之间的差距。