随机多胞体与仿射表面积

设 K 为 $R^d$ 中的凸体。随机多胞体是在 K 中随机选取的有限个点 $[x_1,...,x_n]$ 的凸包。$\Bbb E(K,n)$ 为 n 个随机选取的点所构成随机多胞体的体积的期望。I. Bárány 证明,对于具有 $C^3$ 边界且处处正曲率的凸体,有 $$c(d)\lim_{n \to \infty} \frac {vol_d(K)-\Bbb E(K,n)}{(\frac{vol_d(K)}{n})^{\frac{2}{d+1}}} =\int_{\partial K} \kappa(x)^{\frac{1}{d+1}}d\mu(x)$$ 其中 $\kappa(x)$ 表示高斯-克ronecker 曲率。我们证明若 $\kappa(x)$ 表示广义高斯-克ronecker 曲率,则同一公式对所有凸体均成立。