随机多胞形$f$-向量的单调性

设$K$为$\mathbb{R}^d$中的紧致凸体，设$K_n$为在$K$中均匀且独立选取的$n$个点的凸包，并设$f_i(K_n)$表示$K_n$的$i$维面的数量。我们证明对于平面凸集，$E(f_0(K_n))$随$n$增加而递增。在维数$d \ge 3$时，我们证明若当$n \to \infty$时$\lim (E(f_{d-1}(K_n)) / (A n^c)) = 1$对某些常数$A$和$c > 0$成立，则函数$E(f_{d-1}(K_n))$在$n$足够大时是递增的。特别是，均匀且独立分布于光滑紧致凸体内的$n$个随机点的凸包的面数在渐近意义上是递增的。我们的证明依赖于随机抽样论证。