凸曲面上取顶点的随机多面体的各向同性常数

对于各向同性凸体 $K\subset\mathbb{R}^n$，我们考虑由 $N$ 个独立随机点生成的对称随机多面体 $K_N$ 的各向同性常数 $L_{K_N}$，这些随机点按照 $K$ 边界上的锥概率测度分布。我们证明以压倒性概率有 $L_{K_N}\leq C\sqrt{\log(2N/n)}$，其中 $C\in(0,\infty)$ 为绝对常数。若 $K$ 是无条件的，我们论证即使以压倒性概率有 $L_{K_N}\leq C$。证明分别基于次指数或次高斯随机变量之和的浓度不等式，而在无条件情形中，还基于一个关于锥测度下线性泛函的新的 $\psi_2$ 估计（沿 Bobkov 与 Nazarov 的思路），该估计本身可能具有独立意义。