凸体的随机逼近与顶点指数

我们证明存在绝对常数 $\alpha >1$ 具有如下性质：若 $K$ 是 ${\mathbb R}^n$ 中以原点为质心的凸体，则随机子集 $X\subset K$ 满足基数 ${\rm card}(X)=\lceil\alpha n\rceil$ 且以大于 $1-e^{-n}$ 的概率有 {K\subseteq c_1n\,{\mathrm conv}(X),} 其中 $c_1>0$ 为绝对常数。作为一个应用，我们证明 ${\mathbb R}^n$ 中任意凸体 $K$ 的顶点指数以 $c_2n^2$ 为界，其中 $c_2>0$ 为绝对常数，从而将 Bezdek 和 Litvak 关于对称情形的估计推广。