包含凸体的单纯形的最小体积

设$K \subset \mathbb R^n$为重心在原点的凸体。我们证明存在一个重心也在原点的单纯形$S \subset K$，使得$\left(\frac{vol(S)}{vol(K)}\right)^{1/n} \geq \frac{c}{\sqrt{n}},$其中$c>0$为绝对常数。这是利用随机几何技术实现的。具体而言，若$K$处于各向同性位置，我们给出一种方法，能以非常高概率找到满足上述界限的居中单纯形。作为推论，我们对凸几何中的一个老问题给出了正确的渐近估计。即，我们证明包围给定凸体$K \subset \mathbb R^n$的最小体积单纯形$S_{min}(K)$满足如下不等式$$\left(\frac{vol(S_{min}(K))}{vol(K)}\right)^{1/n} \leq d \sqrt{n},$$对于某个绝对常数$d>0$。除去常数因子，该估计不能减小。