一个与一般测度切片不等式相关的例子

对于 $n\in \mathbb{N}$，令 $S_n$ 为满足不等式 $$\int_K f \le S \cdot |K|^{\frac 1n} \cdot \max_{\xi\in S^{n-1}} \int_{K\cap \xi^\bot} f$$ 的最小正数 $S>0$，该不等式对所有 $\mathbb{R}^n$ 中的中心对称凸体 $K$ 及 $K$ 上所有偶的连续概率密度 $f$ 成立。这里 $|K|$ 是 $K$ 的体积。第二作者已证明 $S_n\le 2\sqrt{n}$，并且类比于 Bourgain 切片问题，曾提出 $S_n$ 是否被一个通用常数上方有界的问题。在本文中，我们构造了一个例子，表明 $S_n\ge c\sqrt{n}/\sqrt{\log \log n}$，其中 $c > 0$ 是一个绝对常数。此外，对于任意 $0 < \alpha < 2$，我们描述了一个满足所谓 $\psi_{\alpha}$ 条件的相关例子。