各向同性凸体及其$L_q$-重心体的$M$-估计

设$K$为$\mathbb{R}^n$中的中心对称凸体，$\|\cdot\|$为其在${\mathbb R}^n$上诱导的范数。我们证明，如果$K \supseteq r B_2^n$，则：$$\sqrt{n} M(K) \leqslant C \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} \min\left(\frac{1}{r} , \frac{n}{k} \log\Big(e + \frac{n}{k}\Big) \frac{1}{v_{k}^{-}(K)}\right) .$$ 其中$M(K)=\int_{S^{n-1}} \|x\|\, d\sigma(x)$为平均范数，$C>0$为通用常数，$v^{-}_k(K)$表示$K$的$k$维正交投影的最小体积半径。我们将此结果应用于研究${\mathbb R}^n$中各向同性凸体$K$及其$L_q$-重心体的平均范数。特别地，我们证明如果$K$具有各向同性常数$L_K$，则：$$M(K) \leqslant \frac{C\log^{2/5}(e+ n)}{\sqrt[10]{n}L_K} .$$