通过离散不等式论述博雷尔不等式与随机多边形的均值宽度

博雷尔不等式指出存在一个正绝对常数C>0，使得对于每一个1≤p≤q都有\n$$\left(\mathbb E|\langle X, e_n\rangle|^p\right)^\frac{1}{p}\leq\left(\mathbb E|\langle X, e_n\rangle|^q\right)^\frac{1}{q}\leq C\frac{q}{p}\left(\mathbb E|\langle X, e_n\rangle|^p\right)^\frac{1}{p},$$\n当X是均匀分布于任意凸体K⊆R^n的随机向量且(e_i)_{i=1}^n是R^n的标准正交基时成立。在本文中，我们将证明该不等式的离散版本，当X是均匀分布于K∩Z^n的随机向量且K⊆R^n的任意凸体且包含原点时即成立。我们还将利用此离散版本获得的离散不等式来恢复估计E w(K_N)∼w(Z_{log N}(K))，其中K_N是由均匀分布于K的独立随机向量X_1,…,X_N生成的中心对称随机多边形K_N=conv{±X_1,…,±X_N}，Z_p(K)是凸体K的L_p质心体（p≥1），w(·)表示均值宽度。