张投影不等式的离散方法

在本文中，我们将为任意凸体 $K\subseteq\R^n$ 提供一个新证明：$$\frac{{{2n}\choose{n}}}{n^n}n\int_0^\infty r^{n-1}\vol_n(K\cap(re_n+K))dr\leq\frac{(\vol_n(K))^{n+1}}{(\vol_{n-1}(P_{e_n^\perp}(K)))^n},$$ 其中 $(e_i)_{i=1}^n$ 表示 $\R^n$ 中的标准正交基，$P_{e_n^\perp}(K)$ 表示 $K$ 到与 $e_n$ 正交的线性超平面上的正交投影，$\vol_k$ 表示 $k$ 维勒贝格测度。该不等式由 Gardner 和 Zhang 证明，它蕴含了张不等式。我们将利用对该不等式的新方法来证明其离散类似形式以及其等价版本的离散类似形式，在其中我们将考虑格点枚举测度而非勒贝格测度，并证明从这些离散类似形式我们可以恢复上述不等式，因此也能恢复张不等式。