关于第 m 阶加权投影体算子及相关不等式

对于 $\mathbb R^n$ 中的凸体 $K$，Rogers-Shephard 和 Zhang 的不等式可简洁地写为 $$\text{vol}_n(DK)\leq \binom{2n}{n} \text{vol}_n(K) \leq \text{vol}_n(n\text{vol}_n(K)\Pi^\circ K).$$ 其中 $DK=\{x\in\mathbb R^n:K\cap(K+x)\neq \emptyset\}$ 是 $K$ 的差体，$\Pi^\circ K$ 是 $K$ 的极投影体。当且仅当 $K$ 是 $n$ 维单形时，上述任一不等式取等号。事实上，存在一类凸体，即 Gardner 和 Zhang 引入的所谓径向平均体 $R_p K$，它在 $DK$ 与 $\Pi^\circ K$ 之间连续插值。对于 $m\in\mathbb N$，Schneider 将 $K$ 的第 $m$ 阶差体定义为 $$D^m(K)=\{(x_1,\dots,x_m)\in\mathbb R^{nm}:K\cap_{i=1}^m(K+x_i)\neq \emptyset\}\subset \mathbb R^{nm}$$ 并证明了第 $m$ 阶 Rogers-Shephard 不等式。在本文的前作中，作者与 Haddad 合作，将这一第 $m$ 阶概念推广至径向平均体和极投影体，建立了相应的 Zhang 投影不等式。本文中，我们通过用具有密度的测度替换 Lebesgue 测度，引入了上述算子的加权版本。这些算子在 $m=1$ 情形下的加权版本分别由 Roysdon（差体）、Langharst-Roysdon-Zvavitch（极投影体）和 Langharst-Putterman（径向平均体）首次完成。本工作可视为所有这些工作的续篇，将其推广至第 $m$ 阶。在最后一节，我们将其中许多思想推广到广义体积的设置中，该设置由 Gardner-Hug-Weil-Xing-Ye 首次引入。