平面极性凸体的体积乘积——带稳定性的下界估计

设$K \subset {\mathbb R}^2$为$o$对称凸体，且$K^*$为其极体。则我们有$|K|\cdot |K^*| \ge 8$，等号成立当且仅当$K$为平行四边形。($| \cdot |$表示体积)。若$K \subset {\mathbb R}^2$为凸体，且$o \in {\text{int}}\,K$，则$|K|\cdot |K^*| \ge 27/4$，等号成立当且仅当$K$为三角形且$o$为其重心。若$K \subset {\mathbb R}^2$为凸体，则我们有$|K| \cdot |[(K-K)/2)]^* | \ge 6$，等号成立当且仅当$K$为三角形。这些定理分别归功于Mahler和Reisner、Mahler和Meyer、以及Eggleston。我们展示了一个类似定理：若$K$关于$o$具有$n$重旋转对称性，则$|K|\cdot |K^*| \ge n^2 \sin ^2 ( \pi /n)$，等号成立当且仅当$K$是以$o$中心的正$n$边形。我们还将给出这四个不等式的稳定性变体，既针对体，也针对极性中心。为此我们使用Banach-Mazur距离（距平行四边形或三角形），或其分别使用相似拷贝而非仿射变换（距正$n$边形）的类似物。稳定性变体在常数因子范围内是尖锐的。我们将不等式$|K|\cdot |K^*| \ge n^2 \sin ^2 ( \pi /n)$推广到满足$o \in {\text{int}}\,K$、且包含于两个正$n$边形之间并包含另一个正$n$边形的体，其中内部$n$边形的顶点落在外部$n$边形的边上。我们的关键引理是关于互为极体的两个凸体扇形的面积乘积的稳定性估计。对于我们的若干陈述，我们给出多个证明；特别地，我们给出了Mahler-Reisner定理的一个新证明。