关于 Mahler 体积的局部极小值点

我们重点分析 Mahler 体积的局部极小值点，即以下问题的局部解：$$\min\{ M(K):=|K||K^\circ|\;/\;K\subset\R^d\textrm{ open and convex}, K=-K\},$$其中 $K^\circ:=\{\xi\in\R^d ; \forall x\in K, x\cdot\xi<1\}$ 是 $K$ 的极体，$|\cdot|$ 表示 $\R^d$ 中的体积。根据 Mahler 的著名猜想，立方体被认为是该问题的全局极小值点。我们用凸体的支撑泛函表示 Mahler 体积，从而计算其一阶和二阶导数，并导出了该泛函的凹性。作为推论，我们首先证明了任何局部极小值点在其定义的任何点处的高斯曲率均消失。进一步深入分析二维情况，我们还证明了任何局部极小值点必定是平行四边形。由此，我们恢复并改进了 Mahler 的原创结果（他证明了平行四边形是二维情况下的全局极小值点），以及 Reisner 的等号情形（他证明了它们是唯一的全局极小值点）。