具有粗糙核的非局部 Allen-Cahn 型方程的一维解

我们致力于研究如下类型能量泛函的局部与全局极小元：\n$$\frac{1}{4} \iint_{\mathbb{R}^{2 N} \setminus \left( \mathbb{R}^N \setminus \Omega \right)^2} |u(x) - u(y)|^2 K(x - y) \, dx dy + \int_{\Omega} W(u(x)) \, dx,$$\n其中 $W$ 是光滑的偶双势阱势，$K$ 是一类一般类中的非负对称核，该类包含一个特例 $K(z) = |z|^{- N - 2 s}$（$s \in (0, 1)$），其与分数阶拉普拉斯算子相关。我们证明了在全空间 $\mathbb{R}^N$ 中一维极小元的存在性与唯一性（至多差一个平移），并获得了与其相关的一些量的精确估计。特别地，我们推导出非局部 Allen-Cahn 方程\n$$\mbox{p.v.} \int_{\mathbb{R}^N} \left( u(x) - u(y) \right) K(x - y) \, dy + W'(u(x)) = 0 \quad \mbox{for any } x \in \mathbb{R}^N,$$\n具有一维对称性的解的存在性。此处展示的结果在 (Cabré and Solà-Morales, 2005)、(Palatucci, Savin and Valdinoci, 2013) 和 (Cabré and Sire, 2015) 中针对模型情形 $K(z) = |z|^{- N - 2 s}$ 已被证明。而在本工作中，我们考虑的是可能非齐次且在无穷远处被截断的一般核。