欧几里得距离矩阵问题中光滑应力函数的局部与全局极小点

我们考虑在给定嵌入维度 $d$ 的欧几里得距离矩阵（EDM）下精确恢复 $n$ 个点的构型矩阵 $P\in\R^{nd}$ 时出现的非凸最小化问题（四次目标函数）。文献中一个开放性问题是：是否存在使该最小化问题 admits 局部非全局极小点的条件。我们证明当 $n \leq d + 1$ 时，所有二阶驻点均为全局极小点。并且，对于 $d=1$ 且 $n\geq 7>d+1$ 的情况，我们给出了一个可以解析地展示局部非全局极小点的例子。对于更一般的情况，我们数值找到一个二阶驻点，然后证明该四次非凸最小化问题确实存在附近的局部非全局极小点。因此，我们肯定地回答了此前关于其存在性的开放问题。我们寻找局部非全局极小点的方法是新颖的：我们首先利用平移和旋转不变性来消除Hessian矩阵的奇异性，并将问题规模从 $P$ 中的 $nd$ 个变量缩减为 $(n-1)d - d(d-1)/2$ 个变量。这使得牛顿法能够稳定运行，并找到满足严格二阶充分最优性条件的例子。能够找到全局极小值的动机是为了获得构型矩阵的精确恢复，即使在数据有噪声和/或不完整的情况下，也无需借助凸（半定规划）松弛的近似解。在我们的工作过程中，我们对光滑应力函数的局部非全局极小点何时存在、何时不存在给出了新的见解。