函数及相关距离不等式的低维切片不等式

[11] 证明了对于每一个原点对称的星形体 $K \subseteq \mathbb R^n$ 体积为 $1$，每一个在 $K$ 上为偶函数的连续概率密度 $f$，以及 $1 \leq k \leq n-1$，必存在一个维度为 $k$ 的子空间 $F \subseteq \mathbb R^n$，使得 [公式] 其中 $d_{\rm ovr}(K, \mathcal{BP}_k^n)$ 是 $K$ 到广义 $k$ 交叉体类的外体积比距离，$c>0$ 为普适常数。[13] 建立了上界 $d_{\rm ovr}(K, \mathcal{BP}_k^n) \leq c' \sqrt{n/k} \left(\log\left(\frac{en}k\right)\right)^{3/2}$ 对于每一个原点对称凸体 $K$。在本文中，我们展示了存在一个原点对称凸体 $K$ 体积为 $1$ 和一个在 $K$ 上支持的偶函数连续概率密度 $f$，使得对于每一个维度为 $k$ 的子空间 $F$，[公式]。作为结果，我们获得了 $K$ 为凸体时 $d_{\rm ovr}(K, \mathcal{BP}_k^n)$ 的下界，补充了 [1] 中关于凸体的上界。这就是 [公式]。$k=1$ 的情况先前在 [5,6] 中获得。