具有小导数的 Radon 变换与凸体的距离不等式

推广了 [11] 中关于凸体上函数的切片不等式，[4] 中证明存在绝对常数 c，使得对任意 n∈N，任意 q∈[0,n-1) 且不是奇整数，任意体积为 1 的 R^n 中关于原点对称的凸体 K，以及 K 上任意无穷光滑概率密度 f，有 max_{ξ∈S^{n-1}} (1/cos(πq/2)) R f(ξ,·)_t^{(q)}(0) ≥ (c(q+1)/n)^{(q+1)/2}。这里 R f(ξ,t) 是 f 的 Radon 变换，关于变量 t∈R 取 q 阶分数导数，ξ∈S^{n-1} 固定。在本注记中，我们证明存在 R^n 中体积为 1 的关于原点对称的凸体 K 和 K 上的连续概率密度 g，使得 max_{ξ∈S^{n-1}} (1/cos(πq/2)) R g(ξ,·)_t^{(q)}(0) ≤ (1/√n) (c(q+1))^{(q+1)/2}。在 q=0 情形，这在 [5,6] 中得到证明，并用于获得从任意关于原点对称的凸体 K 到交体类的最大外体积比距离的下界估计。我们将后一结果推广到嵌入 L_{-1-q} 的 R^n 中的体类 L_{-1-q}^n。即，对每个 q∈[0,n)，存在 R^n 中关于原点对称的凸体 K，使得 d_{ovr}(K, L_{-1-q}^n) ≥ c n^{1/(2(q+1))}。