关于平稳高斯过程的小偏差及相关解析不等式

设 $\{X_j, j\in \Z\}$ 为具有无限型谱函数 $F$ 的高斯平稳序列。则对所有 $n$ 和 $z\ge 0$，$$\P\Big\{\sup_{j=1}^n |X_j|\le z \Big\}\le \Big(\int_{-z/\sqrt{G(f)}}^{z/\sqrt{G(f)}} e^{-x^2/2}\frac{\dd x}{\sqrt{2\pi}} \Big)^n,$$ 其中 $G(f)$ 是 $F$ 的绝对连续部分 $f$ 的 Radon-Nikodym 导数的几何平均。证明利用了有限 Toeplitz 形式的性质。设 $\{X(t), t\in \R\}$ 为具有协方差函数 $\g(u)$ 的样本连续平稳高斯过程。我们还证明了存在一个绝对常数 $K$，使得对所有满足 $T\ge \e(a)$ 的 $T>0$ 和 $a>0$，有 $$\P\Big\{\sup_{0\le s,t\le T} |X(s)-X(t)|\le a\Big\} \le \exp \Big \{-{KT \over \e(a) p(\e(a))}\Big\} ,$$ 其中 $\e (a)= \min\big\{b>0: \d (b)\ge a\big\}$，$\d (b)=\min_{u\ge 1}\{\sqrt{2(1-\g((ub))}, u\ge 1\}$，且 $p(b) = 1+\sum_{j=2}^\infty {|2\g (jb)-\g ((j-1)b)-\g ((j+1)b)| \over 2(1-\g(b))}$。该证明基于源自 Brascamp-Lieb 不等式的一些解耦不等式。两种方法均得到了发展并在实例上进行了比较。还建立了若干其他相关结果。