零幂变差的高斯与非高斯过程及相关随机微积分

我们考虑一类由 $X\left( t\right) =\int_{0}^{T}G\left( t,s\right) dM\left( s\right)$ 定义的随机过程 $X$，其中 $t\in\lbrack0,T]$，$M$ 是平方可积连续鞅，$G$ 是确定性核。设 $m$ 为奇整数。在假设 $M$ 的二次变差 $\left[ M\right]$ 可微且 $\mathbf{E}\left[ \left\vert d\left[ M\right] (t)/dt\right\vert ^{m}\right]$ 有限的条件下，证明了当与长度为 $r$ 的小区间上 $M$ 的增量方差相关的量 $\delta^{2}\left( r\right)$ 满足 $\delta\left( r\right) =o\left( r^{1/(2m)}\right)$ 时，$m$ 次幂变差 $$\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\varepsilon^{-1}\int_{0}^{T}ds\left( X\left( s+\varepsilon\right) -X\left( s\right) \right) ^{m}$$ 存在且为零。当 $M$ 为 Wiener 过程时，$X$ 是高斯的；该类随后包括分数布朗运动以及其他具有或不具有平稳增量的高斯过程。当 $X$ 是高斯过程且具有平稳增量时，$\delta$ 是 $X$ 的单变量规范度量，且证明了关于 $\delta$ 的条件是必要的。在非平稳高斯情形下，当 $m=3$ 时，定义了对称（广义 Stratonovich）积分，证明了其存在性，并为所有 $C^{6}$ 类函数建立了其 It\^o 公式。