高斯及其他随机过程在闭的、稠密定义的、无界线性算子下的像

高斯过程（GPs）是空间统计与机器学习中广泛使用的工具，且对于高斯过程 $T u$（其为另一高斯过程 $u$ 在作用于 $u$ 样本路径的线性变换 $T$ 下的像）的均值函数与协方差核的公式已广为人知，几乎成为常识。然而，这些公式常被使用而未严格关注技术细节，尤其当 $T$ 为无界算子（如微分算子）时，这在许多现代应用中十分常见。本文针对作用于平方可积（未必高斯）随机过程样本路径上的闭的、稠密定义的算子 $T$，给出了所述公式的自包含证明。我们的证明技术依赖于关于 Banach 值随机变量的 Bochner 积分的 Hille 定理。