高斯过程的谱理论：再生核、随机函数、边界及具有分数尺度的 $\mathbf L^2$-小波生成元

泛函分析中的一个反复出现的主题是正定函数及其再生核理论与高斯随机过程理论之间的相互作用。这一核心主题由大量应用所驱动，例如在数学物理、随机微分方程及其在金融模型中的应用。在本文中，我们表明，对于对应关系中的三类情形，可以获得适用于相应高斯随机过程计算的显式公式。为实现这一目标，我们首先开发了两种泛函分析工具：$(i)$ 识别一个通用样本空间 $\Omega$，以便在其中实现对应关系中的特定高斯过程；以及 $(ii)$ 一种在 $\Omega$ 中离散化计算的过程。我们研究的三类过程如下：与以下对象相关联的过程：(a) 固定 Borel 测度空间上任意给定的 $\sigma$-有限正则测度；(b) $\sigma$-函数的 Hilbert 空间；以及 (c) 迭代函数系统理论中出现的自相似测度系统。即使我们在 (a) 中的结果也超越了此前获得的成果，因为早期研究集中于更窄的测度类，通常是 $\mathbb R^n$ 上的 Borel 测度。在我们的最后一个定理（第 10 节）中，从某个固定集 $T$ 上的非退化正定函数 $K$ 出发，我们证明了存在一个通用样本空间 $\Omega$ 的选择，它可以被实现为 $(T, K)$ 的“边界”。我们分析了其边界理论性质，并指出了它们与研究可数无限图上的电气网络的相关性。