连续 Breuer-Major 定理：紧性与非平稳性

设 $Y=(Y(t))_{t\geq0}$ 为协方差函数 $\rho:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 满足 $\rho(0)=1$ 的零均值高斯平稳过程。设 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 为关于标准高斯测度平方可积的函数，并设 $f$ 的 Hermite 秩为 $d\geq 1$。若 $\int_\mathbb{R} |\rho(s)|^dds<\infty$，则著名的 Breuer-Major 定理（其连续版本）断言 $Z_\varepsilon:=\sqrt{\varepsilon}\int_0^{\cdot/\varepsilon}f(Y(s))ds$ 的有限维分布当 $\varepsilon\to 0$ 时收敛于 $\sigma W$ 的有限维分布，其中 $W$ 为标准布朗运动，$\sigma$ 为某显式常数。自 1983 年首次出现以来，该定理已成为不同领域（如信号处理或分数高斯过程的统计推断）中的关键概率工具。本文目标有二。首先，我们研究 Breuer-Major 定理中的紧性。令人惊讶的是，该问题至今未受充分关注，现有最佳条件由 Ben Hariz [1] 给出，既非自然，实践中亦不易验证。相反，我们的条件非常简单，仅要求对某个严格大于 2 的 $p$，$|f|^p$ 关于标准高斯测度可积。该条件借助 Malliavin 微积分（特别是 Meyer 不等式）得到。其次，受几何性质问题的驱动，我们将连续 Breuer-Major 定理推广至未必平稳的自相似高斯过程这一公认困难情形。文末给出了对双分数布朗运动正则化版本长度过程涨落的应用。