具有异质弛豫动力学的大型复杂系统的稳定性

我们在广义 May 模型框架内研究大小为 $N$ 的大型复杂系统的稳定性概率，该模型假设每个种群大小 $n_i$（相对于其平衡值）的线性动力学：$\frac{\mathrm{d}\, n_i}{\mathrm{d}t} = - a_i n_i - \sqrt{T} \sum_{j} J_{ij} n_j$。其中 $a_i>0$ 为内禀衰减率，$J_{ij}$ 为实对称 $(N\times N)$ 高斯随机矩阵，$\sqrt{T}$ 度量不同物种间两两相互作用的强度。与 May 原初的均匀模型不同，现在每个物种具有可能互异的内禀阻尼 $a_i$。随着相互作用强度 $T$ 增大，系统在临界值 $T=T_c$ 处经历从稳定相到不稳定相的相变。我们将稳定性概率重新解释为关联 Dyson 布朗运动（DBM）在初始位置 $a_i$ 出发、于“时间” $T$ 中演化至水平 $b=0$ 的击中时间。在 $N \to \infty$ 极限下，利用此 DBM 图像，我们得以完全刻画任意 $a_i$ 密度 $\mu(a)$ 下的 $T_c$。对于特定平坦构型 $a_i = 1 + \sigma \frac{i-1}{N}$，我们得到任意 $T$ 与 $\sigma$ 下极限（当 $N\to \infty$）谱密度的显式参数解。对于有限但大的 $N$，我们还利用库仑气体表示计算了稳定侧 $T < T_c$ 上稳定性概率的大偏差性质。