各向同性与平稳高斯场加性泛函的谱中心极限定理

设 $B=(B_x)_{x\in\mathbb{R}^d}$ 为一族 $N(0,1)$ 随机变量，构成 $\mathbb{R}^d$ 上实值连续平稳高斯场，并令 $C(x-y)=\mathbb{E}[B_xB_y]$。设 $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 满足 $\mathbb{E}[\varphi(N)^2]<\infty$（其中 $N\sim N(0,1)$），令 $R$ 为 $\varphi$ 的 Hermite 秩，并考虑 $Y_t = \int_{tD} \varphi(B_x)dx$，$t>0$，其中 $D\subset \mathbb{R}^d$ 为紧集。自 80 年代 Breuer、Dobrushin、Major、Rosenblatt、Taqqu 等人的开创性工作以来，$Y_t$ 的中心与非中心极限定理不断被精炼、推广并应用于日益多样的情境，以至于已成为一个独立的研究领域。该领域专家在过去四十年中形成的普遍直觉是：当 $t\to\infty$ 时，$Y_t$ 围绕其均值的涨落在一般情形（即除极少数特殊情况外）下，若 $B$ 具有短记忆则为高斯型，若 $B$ 具有长记忆且 $R\geq 2$ 则为非高斯型。本文表明，这一历经四十年形成的直觉可能是错误的，且并非仅在边缘或临界情形中出错。我们确实揭示出多种在长记忆背景下 $Y_t$ 呈现高斯涨落的情形。为实现此目标，我们陈述并证明了一个谱中心极限定理，将著名的 Breuer-Major 定理的结论推广至 $C\notin L^R(\mathbb{R}^d)$ 的情形。我们的主要数学工具是 Malliavin-Stein 方法与傅里叶分析技术。