稀疏随机图匹配数的中心极限定理
组合数学
2025-01-28 v2 概率论
摘要
1981 年，Karp 和 Sipser 在一篇开创性地提出用于分析随机图过程的所谓微分方程法的极具影响力的论文中，证明了稀疏 Erd\H{o}s-R\'enyi 随机图匹配数的大数律。作为对这一经典结果的加强，并回答 Aronson、Frieze 和 Pittel 的问题，我们在相同设定下证明了一个中心极限定理：稀疏随机图匹配数的波动是渐近高斯的。我们的新贡献在于根据 Karp 和 Sipser 首次观察到的著名算法相变，在亚临界和临界区域证明了该中心极限定理。事实上，在超临界区域，Krea\v{c}i\'c 的博士论文中最近利用微分方程方法的随机推广（将所谓的 Karp-Sipser 过程与随机微分方程系统进行比较）证明了一个中心极限定理。我们的证明建立在这些方法之上，并引入了新技术来处理亚临界和临界情形中出现的某些退化性。令人好奇的是，我们的新技术导出了一个非构造性结果：尽管这些波动远小于我们对均值最佳估计中的误差项，我们仍能够刻画匹配数围绕其均值的波动。我们还证明了稀疏随机图邻接矩阵秩的中心极限定理。
引用
@article{arxiv.2402.05851,
title = {A central limit theorem for the matching number of a sparse random graph},
author = {Margalit Glasgow and Matthew Kwan and Ashwin Sah and Mehtaab Sawhney},
journal= {arXiv preprint arXiv:2402.05851},
year = {2025}
}