非负型 Pitman-Yor 过程的 Bernstein-von Mises 定理

Pitman-Yor 过程是一种随机概率分布，可用作非参数贝叶斯分析中的先验分布。该过程属于物种抽样类型，并在类型参数 $\sigma$ 为正时，在大小为 $n$ 的随机样本中生成阶数为 $n^\sigma$ 的不同取值(“物种”)的离散分布。因此，可设定该类型参数以 targeting 不同离散程度水平的真实分布，使得 Pitman-Yor 过程在此情形下成为一种有趣的先验。先前已证明，所得后验分布当且仅当数据的真实分布为离散时是一致的。在本文中，我们推导了后验分布的分布极限，形式为(修正的)Bernstein-von Mises 定理，而此前仅在连续且不一致的情形下已知。结果表明，若数据的真实分布为离散且其原子衰减不太慢，则 Pitman-Yor 后验分布具有良好行为。由此后验分布导出的可信集在此情形下提供了有效的频率学置信集。对于一般的离散分布，后验分布虽一致，但可能包含不以 $\sqrt{n}$ 速率收敛到零的偏差，并使后验推断失效。我们提出了一种解决该问题的偏差校正。我们还考虑了通过经验贝叶斯和全贝叶斯方法从数据估计类型参数的影响。在一个小型仿真研究中，我们说明若无偏差校正，即使对某些离散分布，可信集的覆盖率也可能任意低。