关于小 Grothendieck 定理中常数的最优性

我们探讨使近期确立的 JB$^*$-三元与 JB$^*$-代数的小 Grothendieck 不等式成立的常数的最优性。在主要结果中，我们证明对从 JB$^*$-代数 $B$ 到复 Hilbert 空间 $H$ 的每个有界线性算子 $T$ 及 $\varepsilon>0$，存在范数为一的函数泛函 $\varphi\in B^*$ 使得 $$\|Tx\|\le(\sqrt{2}+\varepsilon)\|T\|\|x\|_\varphi\quad\mbox{ 对 }x\in B.$$ 该定理出现的常数改进了迄今已知的最佳值（即便对 C$^*$-代数亦然）。我们也给出一个简单例子表明常数不能严格小于 $\sqrt2$，故主要定理“渐近最优”。对 I 型 JBW$^*$-代数，我们建立了正规泛函的一个典范分解，可用于证明这一特例下的主要结果，且似具独立意义。作为工具，我们证明了 Hilbert 空间上紧算子的 Schmidt 表示的可测版本。