某些极小极大定理的杂项应用 I

本文的结果之一如下（约定 ${{1}\over {0}}=+\infty$）：设 $X$ 为实希尔伯特空间，$J:X\to {\bf R}$ 为一个具有紧导数的 $C^1$ 泛函，使得 $$\alpha^*:=\max\left \{0,\limsup_{\|x\|\to +\infty}{{J(x)}\over {\|x\|^2}}\right \}<\beta^*:=\sup_{x\in X\setminus \{0\}}{{J(x)}\over {\|x\|^2}}<+\infty\ .$$ 则对任意 $\lambda\in \left ]{{1}\over {2\beta^*}}, {{1}\over {2\alpha^*}}\right [$ 以及任意在 $X$ 中稠密的凸集 $C\subseteq X$，存在 $\tilde y\in C$ 使得方程 $$x=\lambda J'(x)+\tilde y$$ 至少有三个解，其中两个是泛函 $x\to {{1}\over {2}}\|x\|^2-\lambda J(x)-\langle x,\tilde y\rangle$ 的全局极小点。