一个严格极小极大不等式准则及其若干推论

在本文中，我们指出一个非常灵活的框架，在该框架内会出现严格的极小极大不等式。然后，我们通过呈现一系列不同的推论来展示这种方法的有效性。其中一个推论如下：设 $Y$ 为有限维实希尔伯特空间，$J:Y\to {\bf R}$ 为具有局部 Lipschitz 导数的 $C^1$ 函数，$\varphi:Y\to [0,+\infty[$ 为在 0 处具有局部 Lipschitz 导数且 $\varphi^{-1}(0)=\{0\}$ 的 $C^1$ 凸函数。那么，对于每个满足 $J'(x_0)\neq 0$ 的 $x_0\in Y$，存在 $\delta>0$，使得对于每个 $r\in ]0,\delta[$，$J$ 在 $B(x_0,r)$ 上的限制具有唯一全局最小值 $u_r$，且满足 $$J(u_r)\leq J(x)-\varphi(x-u_r)$$ 对所有 $x\in B(x_0,r)$ 成立，其中 $B(x_0,r)=\{x\in Y: \|x-x_0\|\leq r\}$。