极小极大定理的一个非凸松弛版本

给定局部凸空间 $X\times Y$ 的子集 $A\times B$（其中 $A$ 紧致）以及函数 $f:A\times B\rightarrow\overline{\mathbb{R}}$，使得对任意 $y\in B$，$f(\cdot,y)$ 为凹且上半连续的，则极小极大不等式 $\max_{x\in A} \inf_{y\in B} f(x,y) \geq \inf_{y\in B} \sup_{x\in A_{0}} f(x,y)$ 被证明成立，只要 $A_{0}$ 是满足 $f(x,\cdot)$ 为正常、凸且下半连续的 $x\in A$ 的集合。此外，若另加条件 $A\times B\subset f^{-1}(\mathbb{R})$，则可将 $A_{0}$ 取为满足 $f(x,\cdot)$ 为凸的 $x\in A$ 的集合。讨论了与 Moreau 双共轭表示定理的关系，并给出了一些在凸对偶性方面的应用。关键词：极小极大定理，Moreau 定理，共轭函数，凸优化。