Convexoid：共轭凸性的最小理论

凸优化理论中的一个关键思想是利用结构良好的仿射函数来逼近一般函数， leading 到对共轭函数和凸对偶理论的深远发展。这引出了一个问题：建立这些结果的最低要求是什么？本文通过一种精心构建的系统称为Convexoid来回答此问题。我们展示了诸如共轭函数、次梯度及其关系等基本构造，都能在该最小系统中推导得出。基于此，我们定义了相应的对偶系统并发展了弱对偶和强对偶的条件，概括了共轭对偶和径向对偶理论中的经典结果。由于其灵活性，该框架支持各种近似方案，包括使用单峰锥、双线性、径向或分段常数函数来逼近一般函数，以及使用特殊成员函数来表示图、集合系统、模糊集或原型。这些系统的相应对偶结果也为建立目标值界限和验证结构属性提供了新的机遇。