多共轭凸函数的极大单调性与循环对合性

凸分析中的一个基石是函数与其凸共轭通过 Fenchel-Young 不等式所呈现的关键关系。在这种对偶变量设定下,接触集 $\big\{(x,y) \ \big| \ f(x) + f^*(y) = \langle x,y \rangle \big\}$ 的极大单调性源于对定义于任意 Hilbert 空间上的凸下半连续函数成立的 $f^{**} = f$ 对合。我们研究了多于两个凸函数的循环版对合与极大单调性的有效性。结果表明,当底层空间为实直线时,由多共轭凸函数诱导的循环对合性与极大单调性如同对偶变量情形一样继续成立。另一方面,当底层空间为多维时,我们表明除非施加进一步的正则性假设,否则相应性质一般不成立。我们给出了详细例子,以阐明对偶与多共轭凸函数之间,以及一维与多维底层空间之间的显著差异。