一个鞍点定理的改进及其若干应用

本文建立了鞍点定理([4])的一个改进版本，完全去掉了弱下半连续性假设。我们随后依据该改进重新审视了该定理的一些应用。例如，我们得到如下非常一般的局部性结果：设$(H,\langle\cdot,\cdot\rangle)$为实Hilbert空间，$\Phi:B_{\rho}\to H$为$C^{1,1}$函数，且$\Phi(0)\neq 0$。则对足够小的每个$r>0$，恰存在两点$x^*, u^*\in S_r$，使得对所有$x\in B_r\setminus \{x^*\}$，有$$\max\{\langle \Phi(x^*),x^*-x\rangle, \langle \Phi(x),x^*-x\rangle\}< 0\ ,$$$$\|\Phi(u^*)-u^*\|=dist(\Phi(u^*),B_r)$$且对所有$x\in B_r\setminus \{u^*\}$，有$$\|\Phi(x)-u^*\|<\|\Phi(x)-x\|$$，其中$$B_r=\{x\in H : \|x\|\leq r\}$$且$$S_r=\{x\in H : \|x\|=r\}\ .$$