希尔伯特空间上 $C^{1,1}$ 类凸函数的延拓定理

设 $\mathbb{H}$ 为希尔伯特空间，$E \subset \mathbb{H}$ 为任意子集，$f: E \rightarrow \mathbb{R}, \: G: E \rightarrow \mathbb{H}$ 为两个函数。我们给出了二元组 $(f,G)$ 存在 \textit{凸} 函数 $F\in C^{1,1}(\mathbb{H})$ 使得在 $E$ 上 $F=f$ 且 $\nabla F =G$ 的充要条件。我们还表明，若满足该条件，可取 $F$ 使得 $\textrm{Lip}(\nabla F) = \textrm{Lip}(G)$。我们给出了这一结果的一个几何应用，涉及 $\mathbb{H}$ 中由 $C^{1,1}$ 凸体的边界对集合进行插值。最后，针对一个相关问题，我们给出了一个反例，该问题涉及导数非一致连续的的光滑凸函数的光滑凸延拓。