1-射丛的局部 $C^{1,1}$ 凸扩张

设 $E$ 为 $\mathbb{R}^n$ 的任意子集，$f:E\to\mathbb{R}$、$G:E\to\mathbb{R}^n$ 为给定函数。我们给出了存在一个凸函数 $F\in C^{1,1}_{\textrm{loc}}(\mathbb{R}^n)$ 使得在 $E$ 上 $F=f$ 且 $\nabla F=G$ 的充要条件。我们给出了此类扩张 $F$ 的一个有用显式公式，以及我们主要结果在类 $C^{1, \omega}_{\textrm{loc}}$ 中的一个变体，其中 $\omega$ 为连续模。我们还给出了这些结果的两个应用，涉及如何寻找在 $\mathbb{R}^n$ 给定子集上具有指定切超平面的 $C^{1,1}_{\textrm{loc}}$ 凸超曲面，以及一些（不必为凸的）$C^{1,1}_{\textrm{loc}}$ 的 1-射丛扩张的显式公式。